SherbyNet - /page/wikibook/entry.mu

Micron Document

<!DOCTYPE html>

<title>Identité de Lagrange</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Identité de Lagrange</h1>

</header>

</div>

En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, et plus particulièrement en <a href="Alg%C3%A8bre" title="Algèbre">algèbre</a>, l'identité de Lagrange, découverte par <a href="Joseph_Louis_Lagrange" class="mw-redirect" title="Joseph Louis Lagrange">Joseph Louis Lagrange</a>, est une formule transformant un produit de sommes de carrés en une autre somme de carrés ; elle a d'importantes conséquences sur les propriétés du <a href="Produit_vectoriel" title="Produit vectoriel">produit vectoriel</a>.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formulations_algébriques_de_l'identité">Formulations algébriques de l'identité</h2></div>

L'identité de Lagrange est<a href="#cite_note-Weisstein-1">[1]</a>,<a href="#cite_note-GK-2">[2]</a> :

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&&=&\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&\\&{\biggl (}&=&{1 \over 2}\sum _{1\leq i,j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&{\biggr )}\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/31cdfce5a761cfa4685cd822b38986b26eb306f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -6.671ex; width:72.657ex; height:14.509ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&&=&\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&\\&{\biggl (}&=&{1 \over 2}\sum _{1\leq i,j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&{\biggr )}\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

Elle s'applique à deux <a href="Famille_(math%C3%A9matiques)" title="Famille (mathématiques)">familles</a> quelconques (a1, a2, … , an) et (b1,b2, … , bn) de nombres <a href="Nombre_r%C3%A9el" title="Nombre réel">réels</a> ou <a href="Nombre_complexe" title="Nombre complexe">complexes</a>, ou plus généralement à des éléments d'un <a href="Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">anneau commutatif</a>. C’est un cas particulier de l'<a href="Identit%C3%A9_de_Binet-Cauchy" title="Identité de Binet-Cauchy">identité de Binet-Cauchy</a>.

Dans le cas réel, on peut l'exprimer de façon plus compacte avec une notation vectorielle<a href="#cite_note-Boichenko-3">[3]</a> :

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(\det {\begin{pmatrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\end{pmatrix}}\right)^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1d3274829f437b747cafbbb5bf2cc9876510ab52.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:49.3ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(\det {\begin{pmatrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\end{pmatrix}}\right)^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

où a et b sont des vecteurs de ℝn. Cette expression peut s'étendre à ℂn en remplaçant le produit scalaire par un <a href="Hermitien#Produit_scalaire_hermitien_et_espace_hermitien" title="Hermitien">produit hermitien</a> et le carré d'un nombre complexe z par le carré de son <a href="Module_d'un_nombre_complexe" title="Module d'un nombre complexe">module</a> |z|<a href="#cite_note-Steele-4">[4]</a>,<a href="#cite_note-GK-2">[2]</a> :

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<mover>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mover>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}{\overline {a_{k}}}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}|a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}|^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/669d1e006810b95ccc13c8768f5764c08e04313c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:61.475ex; height:7.176ex;" alt="{\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}{\overline {a_{k}}}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}|a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}|^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

c'est-à-dire :

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</munder>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<mrow>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

<mtd>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-|\mathbf {a\cdot b} |^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left|\det {\begin{pmatrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\end{pmatrix}}\right|^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/eb345eb903c7fe15146e0355f032f0b18daefe21.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.338ex; width:47.304ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-|\mathbf {a\cdot b} |^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left|\det {\begin{pmatrix}a_{i}&b_{i}\\a_{j}&b_{j}\end{pmatrix}}\right|^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Le membre de droite de l'égalité étant positif et ne s'annulant que lorsque a et b sont <a href="Colin%C3%A9aires" class="mw-redirect" title="Colinéaires">colinéaires</a>, l'identité de Lagrange entraîne l'<a href="In%C3%A9galit%C3%A9_de_Cauchy-Schwarz" title="Inégalité de Cauchy-Schwarz">inégalité de Cauchy-Schwarz</a><a href="#cite_note-5">[5]</a> et son cas d'égalité dans le cas des <a href="Espace_euclidien" title="Espace euclidien">espaces euclidiens</a> (tels que ℝn), et son analogue dans les <a href="Espace_hermitien" title="Espace hermitien">espaces hermitiens</a> (comme ℂn).

Les cas particuliers n = 2 et n = 3 ont des interprétations géométriques :

<ul><li>pour n = 2, on obtient l'<a href="Identit%C3%A9_de_Brahmagupta" title="Identité de Brahmagupta">identité de Diophante (qui se généralise en celle de Brahmagupta)</a> :<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2},}">

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2},}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0b47b2d131dd0a7dedf72a38b7ba17356ed8bc33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:53.308ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2},}" loading="lazy">ce qui correspond à la multiplicativité du module dans les complexes puisque, en posant <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{1}=a_{1}+{\rm {i}}a_{2}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{1}=a_{1}+{\rm {i}}a_{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8abf0eb9c0bea54339580c25285b362b72d05454.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.289ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{1}=a_{1}+{\rm {i}}a_{2}}" loading="lazy"> et <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z_{2}=b_{2}+{\rm {i}}b_{1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z_{2}=b_{2}+{\rm {i}}b_{1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dcb8d5d971b489f229fb9d42af2db0b90779ad75.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:12.825ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle z_{2}=b_{2}+{\rm {i}}b_{1}}" loading="lazy">, cette formule équivaut à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle |z_{1}z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}|z_{2}|^{2}}">

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |z_{1}z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}|z_{2}|^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/74c5d88e5a57604e755b3691575289105c207d3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.684ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |z_{1}z_{2}|^{2}=|z_{1}|^{2}|z_{2}|^{2}}" loading="lazy"> ;</li>

<li>pour n = 3 on obtient l'identité de Legendre<a href="#cite_note-6">[6]</a>:</li></ul>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2f319acd8e107a6625142569217012849c774535.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:104.286ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}}" loading="lazy"> voir plus bas, dans la <a href="#L'identité_de_Lagrange_et_le_produit_vectoriel">section consacrée au produit vectoriel</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Démonstration_de_la_version_algébrique">Démonstration de la version algébrique</h3></div>

La preuve suivante<a href="#cite_note-Jones-7">[7]</a> correspond à un <a href="Calcul_alg%C3%A9brique" title="Calcul algébrique">calcul algébrique</a> direct, et est par conséquent valable dans tout <a href="Anneau_commutatif" title="Anneau commutatif">anneau commutatif</a>.

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</munder>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mtd>

<mtd>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mstyle>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mrow>

</munder>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

<mrow>

<mrow>

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})\\&=\sum _{\begin{smallmatrix}1\leq i,j\leq n\\i\neq j\end{smallmatrix}}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-a_{i}b_{i}a_{j}b_{j})\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-a_{i}b_{i}a_{j}b_{j})\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\right).\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c71bba5da3519164f847696d2a75fb58c4f2969d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -13.338ex; width:70.868ex; height:27.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}&=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-2a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}+a_{j}^{2}b_{i}^{2})\\&=\sum _{\begin{smallmatrix}1\leq i,j\leq n\\i\neq j\end{smallmatrix}}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-a_{i}b_{i}a_{j}b_{j})\\&=\sum _{1\leq i,j\leq n}(a_{i}^{2}b_{j}^{2}-a_{i}b_{i}a_{j}b_{j})\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right)-\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\right).\end{aligned}}}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="L'identité_de_Lagrange_en_algèbre_extérieure">L'identité de Lagrange en <a href="Alg%C3%A8bre_ext%C3%A9rieure" title="Algèbre extérieure">algèbre extérieure</a></h2></div>

Utilisant le <a href="Produit_ext%C3%A9rieur" title="Produit extérieur">produit extérieur</a>, l'identité de Lagrange peut s'écrire :

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/cbadaa69818f5323ae5ad8ce43e4328d6bd4fb0e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.705ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle (a\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b).}" loading="lazy"></dd></dl>

Elle donne donc la norme du produit extérieur de deux vecteurs en fonction de leur produit scalaire :

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0703d0c380f6f5fce1fd794ff122999a8c4aa7be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.671ex; width:33.651ex; height:4.843ex;" alt="{\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}.}" loading="lazy"></dd></dl>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="L'identité_de_Lagrange_et_le_produit_vectoriel">L'identité de Lagrange et le produit vectoriel</h2></div>

En trois dimensions, l'identité de Lagrange<a href="#cite_note-8">[8]</a> dit que le carré de l'aire d'un parallélogramme est égal à la somme des carrés des aires de ses projections sur les trois plans de coordonnées. Algébriquement, si a et b sont des vecteurs de ℝ3 de norme ||a|| et ||b||, on peut écrire l'identité à l'aide du <a href="Produit_vectoriel" title="Produit vectoriel">produit vectoriel</a> et du <a href="Produit_scalaire" title="Produit scalaire">produit scalaire</a><a href="#cite_note-Anton-9">[9]</a>,<a href="#cite_note-Lounesto1-10">[10]</a> :

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\|\mathbf {a\land b} \|^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2644e571ecaed28d16816e8469caa7837f511f2b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.203ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\|\mathbf {a\land b} \|^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

En effet, le membre de gauche vaut

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}\sin ^{2}\theta }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23a3e7a971a914acbdce7c9c93895567702aad6f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:39.414ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}\sin ^{2}\theta }" loading="lazy"></dd></dl>

où θ est l'angle formé par les vecteurs a et b ; c'est l'aire du <a href="Parall%C3%A9logramme" title="Parallélogramme">parallélogramme</a> de côtés ||a|| et ||b|| et d'angle θ (voir aussi l'article <a href="D%C3%A9terminant_(math%C3%A9matiques)" title="Déterminant (mathématiques)">Déterminant (mathématiques)</a>), et donc le membre de gauche est le carré de cette aire. Le produit vectoriel de droite est défini par

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mathbf {a} \land \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/20462306abe35e3e7463d4efd230f99f351bd555.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.727ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \mathbf {a} \land \mathbf {b} =(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} ,}" loading="lazy"></dd></dl>

vecteur dont les coordonnées sont (en valeur absolue) les aires des projections du parallélogramme sur les plans yz, zx, et xy respectivement.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="En_dimension_7">En dimension 7</h3></div>

Pour des vecteurs a et b de ℝ7, l'identité de Lagrange peut s'écrire, comme dans le cas de ℝ3, sous la forme<a href="#cite_note-Lounesto-11">[11]</a> :

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02d5c6a321b5aac494bad1b876e1f4b6aa68411d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.851ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}-|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

Cependant, le <a href="Produit_vectoriel_en_dimension_7" title="Produit vectoriel en dimension 7">produit vectoriel en dimension 7</a> n'a pas toutes les propriétés du produit vectoriel usuel. Ainsi, par exemple, il ne vérifie pas l'<a href="Identit%C3%A9_de_Jacobi" class="mw-redirect" title="Identité de Jacobi">identité de Jacobi</a><a href="#cite_note-Lounesto-11">[11]</a>.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Interprétation_par_les_quaternions">Interprétation par les quaternions</h3></div>

Un <a href="Quaternion" title="Quaternion">quaternion</a> p est défini comme la somme d'un scalaire t et d'un vecteur v :

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=t+\mathbf {v} =t+x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/557f398c3a06cbf7d12a3147cbd07239f85c98ff.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:30.839ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle p=t+\mathbf {v} =t+x\ \mathbf {i} +y\ \mathbf {j} +z\ \mathbf {k} .}" loading="lazy"></dd></dl>

Le produit de deux quaternions p = t + v et q = s + w est défini par

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )+s\mathbf {w} +t\mathbf {v} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/edff6d74b530027fc5f03e944e875ecc9853ddb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; margin-left: -0.089ex; width:37.651ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )+s\mathbf {w} +t\mathbf {v} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} .}" loading="lazy"></dd></dl>

Le conjugué de q est

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overline {q}}=t-\mathbf {v} ,}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e2dd4346bfa531587f46984fcbc596cd62e7c13d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:10.042ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\overline {q}}=t-\mathbf {v} ,}" loading="lazy"></dd></dl>

et le carré de sa norme est

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<mover>

</mover>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |q|^{2}=q{\overline {q}}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8128e87b2366a9dbd6dfb8157bcf95dd288e0be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:32.598ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |q|^{2}=q{\overline {q}}=t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

On a la multiplicativité de la norme, c'est-à-dire que, pour des quaternions p et q, on a<a href="#cite_note-Kuipers-12">[12]</a> :

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |pq|=|p||q|.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ca5020c35e99d81b0cdce0c90b59b0dd5107c3f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:12.104ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle |pq|=|p||q|.}" loading="lazy"></dd></dl>

Les quaternions p et q sont dits imaginaires (ou purs) si leur partie scalaire est nulle, ou encore si

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p=\mathbf {v} ,\quad q=\mathbf {w} .}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b2769ebbb36d2c190410777c68a8a04d2fd33c98.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:15.871ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p=\mathbf {v} ,\quad q=\mathbf {w} .}" loading="lazy"></dd></dl>

L'identité de Lagrange (en dimension 3) revient simplement à affirmer la multiplicativité de la norme pour les quaternions imaginaires

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=|\mathbf {v} |^{2}|\mathbf {w} |^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c7e0cb0840053286b9bef3558c852b67f20ca42e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.827ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=|\mathbf {v} |^{2}|\mathbf {w} |^{2}}" loading="lazy"></dd></dl>

puisque, par définition,

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2}+|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8e0b1fd91442373efa7a25dbfc49d49b0fee6b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:28.691ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle |\mathbf {v} \mathbf {w} |^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2}+|\mathbf {v} \times \mathbf {w} |^{2}.}" loading="lazy"></dd></dl>

(La multiplicativité pour des quaternions quelconques donne une autre identité importante : l'<a href="Identit%C3%A9_des_quatre_carr%C3%A9s_d'Euler" title="Identité des quatre carrés d'Euler">identité des quatre carrés d'Euler</a>.)

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Références">Références</h2></div>

<div style="font-size:85%; padding-left:1.6em; margin:0.3em 0;"><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « <a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_identity?oldid=410745245">Lagrange's identity</a> » (<a class="external text" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_identity?action=history">voir la liste des auteurs</a>).</div>

<abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, <cite class="italique" lang="en">CRC Concise Encyclopedia of Mathematics</cite>, <a href="CRC_Press" title="CRC Press">CRC Press</a>, <time>2003</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 3252 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-1-4200-3522-3, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=8LmCzWQYh_UC&pg=PA228">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=CRC+Concise+Encyclopedia+of+Mathematics&rft.pub=CRC+Press&rft.edition=2&rft.aulast=Weisstein&rft.aufirst=Eric+W.&rft.date=2003&rft.tpages=3252&rft.isbn=978-1-4200-3522-3&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

<abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Robert E. Greene et <a href="Steven_G._Krantz" title="Steven G. Krantz">Steven G. Krantz</a>, <cite class="italique" lang="en">Function Theory of One Complex Variable</cite>, <a href="American_Mathematical_Society" title="American Mathematical Society">AMS</a>, <time>2006</time>, <abbr class="abbr" title="troisième">3e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 504 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-8218-3962-1, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=u5vhseYCcqkC&pg=PA22">lire en ligne</a>), « Exercise 16 », <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 22<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Function+Theory+of+One+Complex+Variable&rft.atitle=Exercise+16&rft.pub=AMS&rft.edition=3&rft.aulast=Greene&rft.aufirst=Robert+E.&rft.au=Steven+G.+Krantz&rft.date=2006&rft.pages=22&rft.tpages=504&rft.isbn=978-0-8218-3962-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

<abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Vladimir A. Boichenko, Gennadiĭ Alekseevich Leonov et Volker Reitmann, <cite class="italique" lang="en">Dimension Theory for Ordinary Differential Equations</cite>, <a href="Teubner-Verlag" title="Teubner-Verlag">Vieweg+Teubner Verlag</a>, <time>2005</time> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 3-519-00437-2, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=9bN1-b_dSYsC&pg=PA26">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 26<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Dimension+Theory+for+Ordinary+Differential+Equations&rft.pub=Vieweg%2BTeubner+Verlag&rft.aulast=Boichenko%2C+Gennadi%C4%AD+Alekseevich+Leonov+et+Volker+Reitmann&rft.aufirst=Vladimir+A.&rft.date=2005&rft.pages=26&rft.isbn=3-519-00437-2&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

<li id="cite_note-Steele-4"><a href="#cite_ref-Steele_4-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="J._Michael_Steele" title="J. Michael Steele">J. Michael Steele</a>, <cite class="italique" lang="en">The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities</cite>, <a href="Cambridge_University_Press" title="Cambridge University Press">CUP</a>, <time>2004</time>, 306 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-521-54677-5, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=bvgBdZKEYAEC&pg=PA68">lire en ligne</a>), « Exercise 4.4: Lagrange’s identity for complex numbers », <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 68-69<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=The+Cauchy-Schwarz+Master+Class+%3A+An+Introduction+to+the+Art+of+Mathematical+Inequalities&rft.atitle=Exercise+4.4%3A+Lagrange%E2%80%99s+identity+for+complex+numbers&rft.pub=CUP&rft.aulast=J.+Michael+Steele&rft.date=2004&rft.pages=68-69&rft.tpages=306&rft.isbn=978-0-521-54677-5&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

<li id="cite_note-5"><a href="#cite_ref-5">↑</a> C'est d'ailleurs la preuve de Cauchy de cette inégalité. cf A.-L. Cauchy, <cite class="italique">Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique, Ière partie, Analyse algébrique</cite>, Debure frères, <time>1821</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b8626657t/f481.item">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 455<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Cours+d%27analyse+de+l%27%C3%89cole+Royale+Polytechnique%2C+I%C3%A8re+partie%2C+Analyse+alg%C3%A9brique&rft.pub=Debure+fr%C3%A8res&rft.aulast=Cauchy&rft.aufirst=A.-L.&rft.date=1821&rft.pages=455&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">

</li>

<li id="cite_note-6"><a href="#cite_ref-6">↑</a> Jean-Pierre Boudine, <cite class="italique">L'appel des maths</cite>, <abbr class="abbr" title="tome">t.</abbr> 2, Cassini, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 145<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=L%27appel+des+maths&rft.pub=Cassini&rft.aulast=Boudine&rft.aufirst=Jean-Pierre&rft.pages=145&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">

</li>

<li id="cite_note-Jones-7"><a href="#cite_ref-Jones_7-0">↑</a> Voir par exemple page 4 du <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.owlnet.rice.edu/%7Efjones/chap7.pdf">chapitre 7</a> de <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.owlnet.rice.edu/~fjones/">ce livre</a> de Frank Jones, <a href="Universit%C3%A9_Rice" title="Université Rice">université Rice</a>.

</li>

<li id="cite_note-8"><a href="#cite_ref-8">↑</a> C'est en dimension 3 qu'apparaît d'abord l'identité de Lagrange : J.-L. Lagrange, <cite class="italique">Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires</cite>, Nouveaux mémoires de l'Académie royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, <time>1773</time> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k229222d/f663.item">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> 661-692<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Solutions+analytiques+de+quelques+probl%C3%A8mes+sur+les+pyramides+triangulaires&rft.pub=Nouveaux+m%C3%A9moires+de+l%27Acad%C3%A9mie+royale+des+Sciences+et+Belles-Lettres+de+Berlin&rft.aulast=Lagrange&rft.aufirst=J.-L.&rft.date=1773&rft.pages=661-692&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

<li id="cite_note-Anton-9"><a href="#cite_ref-Anton_9-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Howard Anton et Chris Rorres, <cite class="italique" lang="en">Elementary Linear Algebra : Applications Version</cite>, <a href="John_Wiley_%26_Sons" title="John Wiley & Sons">John Wiley & Sons</a>, <time>2010</time>, <abbr class="abbr" title="dixième">10e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 773 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-470-43205-1 et 0-470-43205-5, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA162">lire en ligne</a>), « Relationships between dot and cross products », <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 162<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elementary+Linear+Algebra&rft.atitle=Relationships+between+dot+and+cross+products&rft.pub=John+Wiley+%26+Sons&rft.edition=10&rft.stitle=Applications+Version&rft.aulast=Anton&rft.aufirst=Howard&rft.au=Chris+Rorres&rft.date=2010&rft.pages=162&rft.tpages=773&rft.isbn=978-0-470-43205-1&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

<li id="cite_note-Lounesto1-10"><a href="#cite_ref-Lounesto1_10-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Pertti Lounesto, <cite class="italique" lang="en">Clifford Algebras and Spinors</cite>, CUP, <time>2001</time>, <abbr class="abbr" title="deuxième">2e</abbr> <abbr class="abbr" title="édition">éd.</abbr>, 338 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-521-00551-7, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=DTecU6UpkSgC&pg=PA94">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 94<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Clifford+Algebras+and+Spinors&rft.pub=CUP&rft.edition=2&rft.aulast=Lounesto&rft.aufirst=Pertti&rft.date=2001&rft.pages=94&rft.tpages=338&rft.isbn=978-0-521-00551-7&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

<li id="cite_note-Lounesto-11"><a href="#Lounesto2001">Lounesto 2001</a>. Voir en particulier <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.fr/books?id=DTecU6UpkSgC&pg=PA96">§ 7.4 Cross products in ℝ7</a>, <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 96.

</li>

<li id="cite_note-Kuipers-12"><a href="#cite_ref-Kuipers_12-0">↑</a> <abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> Jack B. Kuipers, <cite class="italique" lang="en">Quaternions and Rotation Sequences : A Primer with Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality</cite>, <a href="Princeton_University_Press" title="Princeton University Press">PUP</a>, <time>2002</time>, 371 <abbr class="abbr" title="pages">p.</abbr> (<a href="International_Standard_Book_Number" title="International Standard Book Number">ISBN</a> 978-0-691-10298-6, <a rel="nofollow" class="external text" href="https://books.google.com/books?id=_2sS4mC0p-EC&pg=PA111">lire en ligne</a>), <abbr class="abbr" title="chapitre(s)">chap.</abbr> § 5.6 (« The Norm »), <abbr class="abbr" title="page">p.</abbr> 111<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Quaternions+and+Rotation+Sequences+%3A+A+Primer+with+Applications+to+Orbits%2C+Aerospace%2C+and+Virtual+Reality&rft.atitle=The+Norm&rft.pub=PUP&rft.aulast=Kuipers&rft.aufirst=Jack+B.&rft.date=2002&rft.pages=111&rft.tpages=371&rft.isbn=978-0-691-10298-6&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3AIdentit%C3%A9+de+Lagrange">.

</li>

</ol></div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail de l’algèbre </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2023-12-23" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Identit%C3%A9_de_Lagrange&oldid=210803869">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>